塔塔利亚“虚数”这个名字即是笛卡尔的功勋

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塔塔利亚“虚数”这个名字即是笛卡尔的功勋

2019-02-12 11:34栏目:电商

  放眼望去,四面全是泥沼。一洼洼泥水连绵不断,被野草包围着,夹杂着起伏的沙丘和低矮的灌木。偶尔有几株巨大的古树东倒西歪地躺在泥泞之中,已经朽烂了。一股臭烘烘的味道在四周弥漫,蚊虫铺天盖日。于蒸汽弥漫中,影影绰绰有许多人,大呼小叫,不知在干什么。一个留着山羊胡子的小老头满身是泥,在沼泽地里跑来跑去,时不时停下来对干活的人们说些什么。他的两条手臂不断地挥舞着,做出各种夸张的手势。

  庞汀沼泽在罗马城东南大概五六十公里的地方。这里本来是个相当富庶的地区,森林遍地,土地肥沃。可是古罗马人为了扩张领土,大量造船,把树木砍光了,造成严重的水土流失,从那以后庞汀就成了一片沼泽。这里蚊蝇滋生,寄生虫遍地都是,历代都是传染霍乱和其他流行病的温床,造成无数人死亡。两千年来,无数有志愿的人试图治理庞汀,可是都失败了。

  本蒂沃利奥(Bentivoglio)家族统治独立城邦博洛尼亚达一个世纪之久,其间与罗马教廷战争不断。他们号称是神圣罗马皇帝腓特烈二世的后代,也就是给比萨的数学家列奥纳多出难题的那一位。在这一百年里,几代的本蒂沃利奥前仆后继,前面的战死了,被暗杀了,后面的马上接上来。公元1506年,教皇尤利乌斯二世(Julius II,公元1443—公元1513)在法国军队的协助下终于攻占了这座城池,博洛尼亚沦为教皇治下的一个城市。以“可怕的尤利乌斯”而知名的教皇下令洗劫本蒂沃利奥的宫殿,把大量艺术品运到自己的宫廷里。

  当时本蒂沃利奥家族,由乔瓦尼·本蒂沃利奥二世(Giovanni II Bentivoglio)带领支持者逃离博洛尼亚。在逃亡的人群中有一个姓马佐里(Mazzoli)的家庭。转过年,乔瓦尼率军反攻失败,遭到残酷,大批追随者被处决,其中包括马佐里家的男主人,他的财产也被没收了。

  一晃十几年过去了,马佐里的后代安东尼奥回到家乡,改做羊毛生意,过起寻常百姓的生活。他娶了一个裁缝的女儿,生下半打儿女,大儿子名叫拉法耶尔(Rafael)。安东尼奥没有能力给孩子提供高等教育,可是他给拉法耶尔请了一位工程师兼建筑师作为私人教师。拉法耶尔后来自己找到一位罗马贵族后裔做保护人。

  博洛尼亚当时在数学界占有世界领先地位,许多有名的数学家都在那里进行研究。德尔·费罗去世的那一年,拉法耶尔刚出生;塔塔利亚同费拉里辩论的时候,他才九岁;吉罗拉莫·卡尔达诺的《大术》出版的时候,他十九岁。他对数学非常感兴趣,却追随老师克莱门蒂(Pier Francesco Clementi,生卒年不详),成为一名工程师。

  公元1549年,拉法耶尔的保护人得到了意大利中部托斯卡纳附近河谷一片沼泽地的所有权。这片土地原属于教皇,北临亚诺河,南临台伯河,常年积水。拉法耶尔奉命治理这片沼泽地,花了六年时间,取得相当大的成功,很快就声名鹊起。

  公元1555年,正当拉法耶尔在托斯卡纳东南部进行沼泽排水治理的时候,工程因故暂停。在等候工作期间,拉法耶尔决定写一本关于代数的书。他似乎没有接受过数学的专门教育,但是工程师的工作需要他对计算数学有相当深入的了解。在自学过程中,他深感很多数学家的论文缺乏详细论证,甚至概念模糊。只有吉罗拉莫·卡尔达诺的探讨深入,可是《大术》对于缺乏数学知识的人来说又太难懂了。于是他决定写一本深入浅出的代数书,以便让人们对这门美妙的科学有更好的了解。拉法耶尔计划把这本书分为五卷,前三卷专门介绍代数,后两卷介绍几何。

  虚数把我们带进复数空间。一个复数z=x+iy有两个部分,实数部分的大小是x,虚数部分的大小是y。复数使我们用数学手段描述世界时多了一个维数。空间是三维的,很多时候,我们用笛卡尔坐标系来描述,空间里每个点有一组坐标(x,y,z)。复数可以用复数平面来表示,如下图。它类似于笛卡尔实数平面,不过横坐标(Re)是实数轴,纵坐标(Im)是虚数轴:

  后来,欧拉指出,三角函数可以用来表达复数,并证明对任何实数x,都存在复数:

  复数在数学、科学和工程上有极为广泛的应用。有了复数,所有n次多项式都有n个复数根(实数根是虚数为零的复数)。实数分析和数论的证明常常需要以复数的技巧来帮助完成。在信号分析中,利用傅立叶变换可以把实数信号表示成一系列周期函数之和,周期函数用复数的形式来表达:,这里是角频率,包含了信号幅度A(x)和相位的信息。这样复数能使我们便捷地表述空间(幅度)和时间(角频率和相位)的变化。

  这本书开始写作不久,排水工程又重新启动。拉法耶尔的工作极为出色,所以在1560年工程结束的时候,他已经是意大利著名的水利工程师了。第二年,他被请到罗马,抢修台伯河上濒于倒塌的古桥。可是这项工程很不成功。至今这座桥仍然没有修复,罗马人把它称为断桥。拉法耶尔的声誉并没有因此而受到影响,他又被请到罗马东南部去治理庞汀沼泽。这个地方的卫生环境极差,从古罗马时代就是传染病的发源地,常常造成霍乱流行。可是,这又是一个棘手的工程,真正彻底地解决问题需要到20世纪。

  拉法耶尔为了这些工程整天忙碌着,写作只好放到业余时间了。这期间,他在沼泽和罗马之间多次往返,认识了一位罗马大学的教授,这位教授有一本珍贵的丢番图《算法学》手稿,共七卷。这个发现让拉法耶尔惊喜不已。两个人经过切磋和讨论,决定把它翻译出来。

  可惜由于工作压力,翻译最终没有完成。不过,丢番图的手稿使拉法耶尔受益匪浅。仔细研读之后,他决定彻底修改自己的手稿,把大量的丢番图的例题引用到自己的书里去。

  公元1573年,拉法耶尔《代数学》的前三卷出版。他在第三卷结尾处写道:“处理几何学的第四卷、第五卷目前还没有完成,不过希望很快便可以问世。”

  然而,拉法耶尔没能完成这部划时代的著作。前三卷出版后不久,拉法耶尔便与世长辞了,年仅四十六岁。

  拉法耶尔的代数是当时最为完整的理论。他在求解的时候,总是先把问题从几何向代数,或者从代数向几何转换,然后用几何与代数两种方法求解,最后验证二者的等价性。这说明,他已经清楚地看到几何与代数的等价性。

  不仅如此,他第一次在代数处理中系统考虑正负数,并给出完整的负数运算规则,比如乘法:

  他甚至给出了负负得正的几何证明。最重要的是,他发现了虚数(平方根下的负数),并给出虚数的运算规则:

  拉法耶尔没有用虚数这个名词。他把正虚数叫作正的负数,负虚数叫作负的负数。他还证明,运用卡尔达诺—塔塔利亚公式和自己的虚数,所有三次方程的解都可以正确地得到。

  在此后长达一百多年的时间里,这位业余数学爱好者的“平方根下的负数”受到专业数学家们一致的嘲笑。就连17世纪的大数学家笛卡尔也没有看到这种“怪数”的意义。“虚数”这个名字就是笛卡尔的贡献,他的本意是说,这种数完全是子虚乌有,没有任何数学意义。直到18世纪,虚数的重要性才被欧拉(LeonhardEuler,公元1707—公元1783)和高斯展示出来。现在虚数用符号i来表示,。

  但(17b)是一个很简单的方程,我们很容易发现,它有三个解,都是实数:x=-1,x=3,x=-2。

  对负数开平方有意义吗?为什么简单的方程如(17b),竟然得到如此奇怪的解来?卡尔达诺在出版《大术》之前,曾经专门写信给塔塔利亚:

  “我给您寄去一封信,询问一些您没有给我答案的问题的解。其中之一是关于三次方等于未知数加上一个数字(注:那时还没有代数符号系统,卡尔达诺这句话的意思是方程)。我确信已经掌握了您的规则,可是当未知数系数的三分之一的立方根(注:亦即)大于那个数字的一半的平方(注:就是)时,我没办法用方程来验证结果。”

  卡尔达诺的困惑我们可以理解:在没有虚数概念的情况下,一些方程式的解简直是可以使人发疯的。塔塔利亚当然也搞不明白,他的回答很符合他的性格:“您根本就没有搞清楚解决这类问题的真正的办法,我可以说您的解全错了!”

  出版《代数学》的时候,拉法耶尔把自己的姓从马佐里改为蓬贝利,拉法耶尔·蓬贝利(Rafael Bombelli,公元1526—公元1572)横空出世。这位从来没有接受过专业数学训练的水利工程师从此以“虚数之父”的称号名垂千古。

  拉法耶尔的另一个重要贡献是数学符号。早在15世纪末期,帕西奥利就开始使用数学符号,不过帕西奥利采用的符号十分有限。卡尔达诺等人关于三次方程的解则完全是语言描述式的。拉法耶尔创造了相当完整的数学符号。表四列出一些拉法耶尔创造的运算符号。由于当时的印刷机能力有限,拉法耶尔在把著作付梓的时候不得不临时改变手稿中的数学符号。不过,把这个三千多年的问题,“求一个数,使它满足这样一个条件:把这个数自乘两次,加上这个数的一次自乘和某个常数的积,加上这个数与另外一个常数的积,再加上第三个常数,使得总和等于零”,变成简洁的一句话:

  亚当和夏娃就像虚数,负1的平方根:对于它的存在,你永远得不到具体的证明,可是你一旦把它包括在方程里面,你就能进行所有的计算,而且你无法想象,没了它你该怎么办。

  (关于负负得正的运算关系)实际上,在语言当中这个关系也非常微妙。有一次,牛津大学著名的语言哲学家约翰·奥斯汀(J.L. Austin,公元1911—公元1960)在讲座里断言,许多语言用两次否定来表达肯定,但没有一种语言用两次肯定表示否定。这时,坐在观众席的哥伦比亚大学哲学家悉尼·摩根拜瑟(Sidney Morgenbesser,公元1921—公元2004)用讥讽的口气说:“就是,就是。”

  本文节选自广西师大出版社《数学现场:另类世界史》,作者:王雁斌返回搜狐,查看更多